Симметричные отношения значение

значение Тема 2.2 Отображения

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием «отношения». Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то одного признака R у элементов множества M (например, «быть красным» на множестве шаров в урне).

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимо

связей, которыми характеризуются пары элементов во множестве M.

Например, на множестве людей могут быть заданы следующие отношения: «жить в одном городе», «x работает под руководством y», «быть сыном», «быть старше» и т.д. на множестве чисел: «число a больше числа b», «число a является делителем числа b», «числа a и b дают одинаковый остаток при делении на 3».

В прямом произведении , где A — множество студентов какого-либо вуза, B— множество изучаемых предметов, можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (a, b), обладающих свойством: «студент a изучает предмет b». Построенное подмножество отражает отношение «изучает», возникающее между множествами студентов и предметов. Число примеров можно продолжить

Отношения между двумя объектами являются предметом исследования экономики, географии, биологии, физики, лингвистики, математики и других наук.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A.

Пример 1. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R1 и R2, заданными на множествах Aи : , . Подмножество R1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R.

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R.

В примере 1 для R1 область определения: , множество значений — . Для R2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B, через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения .

Пример 5. Пусть , .

Пусть R1 задано на перечислением упорядоченных пар: . Бинарное отношение R2 на множестве задано с помощью правила: упорядочена пара , если a делится на b. Тогда R2 состоит из пар: .

Бинарные отношения, из примера 2, R1 и R2 изображены графически на рис. 6 и рис.7.

Рис. 6 Рис. 7

Чтобы изобразить бинарное отношение с помощью стрелок, слева изображаются точками элементы множества A, справа — множества B. Для каждой пары (a, b), содержащейся в бинарном отношении R, проводится стрелка от a к b,. Графическое изображение бинарного отношения R1, приведенного в примере 6, показано на рис.8.

Загрузка…

Рис.8

Бинарные отношения на конечных множествах могут быть заданы матрицами. Предположим, что задано бинарное отношение R между множествами A и B. , .

Строки матрицы нумеруются элементами множества A, а столбцы – элементами множества B. Ячейку матрицы, стоящую на пересечении i — ой строки и j — ого столбца принято обозначать через Cij, а заполняется она следующим образом:

Полученная матрица будет иметь размер .

Пример 6. Пусть задано множество . На множестве задайте списком и матрицей отношение R – «быть строго меньше».

Отношение R как множество содержит все пары элементов (a, b) из M такие, что .

.

Тогда

Матрица отношения, построенная по вышеуказанным правилам, имеет следующий вид:

Свойства бинарных отношений:

1. Бинарное отношение R на множестве называется рефлексивным, если для любого элемента a из M пара (a, a) принадлежит R, т.е. имеет место для любого a из M:

.

Отношения «жить в одном городе», «учиться в одном вузе», «быть не больше» являются рефлексивными.

2. Бинарное отношение называется антирефлексивным, если оно не обладает свойством рефлексивности для любых a:

.

Например, «быть больше», «быть младше» — это антирефлексивные отношения.

3. Бинарное отношение R называется симметричным, если для любых элементов a и b из M из того, что пара (a, b) принадлежит R, , вытекает, что пара (b, a) принадлежит R, т.е.

.

Симметрична параллельность прямых, т.к. если //, то //. Симметрично отношение «быть равным» на любом множестве или «быть взаимнопростым на N».

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R-1

4. Если для несовпадающих элементов верно отношение , но ложно , то отношение антисимметрично. Можно сказать иначе:

и .

Антисимметричными являются отношения «быть больше», «быть делителем на N», «быть младше».

5. Бинарное отношение R называется транзитивным, если для любых трех элементов из того, что пары (a, b) и (b, c) принадлежат R, следует, что пара (a, c) принадлежит R:

и

Транзитивны отношения: «быть больше», «быть параллельным», «быть равным» и др.

6. Бинарное отношение R антитранзитивно, если оно не обладает свойством транзитивности.

Например, «быть перпендикулярным» на множестве прямых плоскости (, , но неверно, что ).

Т.к. бинарное отношение может быть задано не только прямым перечислением пар, но и матрицей, то целесообразно выяснить, какими признаками характеризуется матрица отношения R, если оно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3)симметрично, 4) антисимметрично, 5) транзитивно.

Пусть R задано на , .

1. Если R рефлексивно, то для любого имеет место , т.е. оно выполняется для всех пар . В матрице этим парам соответствуют элементы Cii. Они составляют главную диагональ. Следовательно, главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

2. R антирефлексивно, если ни для какого не выполняется . Из этого следует, что главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения содержит только нули.

3. R симметрично, если для пары из следует , т.е. для любой пары отношение R либо выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице стоит единица на пересечении i — ой строки и j — ого столбца, т.е. Cij =1, то она должна стоять и на пересечении j — ой строки и i — ого столбца, т.е. Cji =1, и наоборот, если Cji =1, то Cij =1. Таким образом, матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. R антисимметрично, если из и следует: . Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких i, j не выполняется Cij = Cji =1. Таким образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали.

5. Бинарное отношение R на непустом множестве A называется транзитивным если и . Для транзитивности отношения R необходимо и достаточно, чтобы ,

Пример.

Если 2<3 и 3<4, то 2<4 Транзитивны отношения «быть параллельным», «быть больше», «быть равным».

Пример

, т.е. R – транзитивно

Бинарное отношение R антитранзитивно, если для любых трех элементов не выполняется условие транзитивности на множестве прямых (,но неверно, что).

Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное отношение R на множестве А называется эквивалентностью на А.

Вышеприведенное условие должно выполняться для любых элементов матрицы. И, наоборот, если в матрице R имеется хотя бы один элемент Cij =1, для которого данное условие не выполняется, то R не транзитивно.


Источник: http://www.mestiere.ru/02/25/binarnie-otnosheniya/


Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Что такое Отношение Симметричное? Значение Отношение Симметричное Средство при треснутой коже



Симметричные отношения значение Бинарные отношения ПриМат Симметричность это ложное высказывание
Симметричные отношения значение Отношение Симметричное - значение слова Отношение. - ВСловаре. Ру
Симметричные отношения значение Симметричное отношение - это. Что такое Симметричное отношение?
Симметричные отношения значение Отношение Симметричное что такое otnoshenie simmetrichnoe значение
Симметричные отношения значение Свойства бинарных отношений 4. Симметричность
Симметричные отношения значение Антисимметричное отношение Викиконспекты
Симметричные отношения значение Вопрос-Ответ: бинарные отношения
Симметричные отношения значение 2.3. Свойства бинарных отношений
Симметричные отношения значение Бинарные отношения
7 комм Поделка солнышко своими руками Игрушка из фетра, выкройка Quot;Малевич Студио" организация свадеб в Черногории (Будва, Санкт) Вязание крючком К чему снится Бриллиант во сне по 90 сонникам! Если видишь Как сделать сову своими руками (мастер-класс, фото из чего и как её) Короткие стрижки: новинки 2017 года - Явмоде. ру Мастер и Маргарита Петля Гарднера Монтаж Патерностер Как вязать монтаж узлы

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ